【題目】如圖，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，為的中點.

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ) 求，，求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由矩形和菱形所在的平面相互垂直，，進而證得平面，證得，再根菱形ABEF的性質，證得，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面.

(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知，，兩兩垂直，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，分別求得平面ACD和平面ACG一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.

（Ⅰ）證明：∵矩形和菱形所在的平面相互垂直，，

∵矩形菱形，∴平面，

∵AG平面，∴，

∵菱形中，，為的中點，∴，∴，

∵，∴平面.

(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知，，兩兩垂直，以為原點，為軸，為軸，為軸，

建立空間直角坐標系，

∵，，則，，

故，，，，

則，，，

設平面的法向量，則，

取，得，

設平面的法向量，則，

取，得，

設二面角的平面角為，則，

由圖可知為鈍角，所以二面角的余弦值為 .

練習冊系列答案
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