Question

已知函數(shù)f（x）=ax+xln|x+b|是奇函數(shù)，且圖象在點(diǎn)（e，f（e））處的切線斜率為3（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）若k∈Z，且k＜

f(x)

x-1

對(duì)任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出f'（x）=a+lnx+1，a+lne+1=3，由此能求出a=1．
（Ⅱ）由f（x）=x+xlnx，得k＜

f(x)

x-1

對(duì)k＜

x+xlnx

x-1

對(duì)任意x＞e²恒成立，由此利用構(gòu)造法結(jié)合導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出整數(shù)k的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=ax+xln|x+b|是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
解得b=0，
∴f（x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1…（2分）
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)x=e處的切線斜率為3，
所以，f'（e）=3，即a+lne+1=3，
所以，a=1．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x+xlnx，
所以，k＜

f(x)

x-1

對(duì)任意x＞e²恒成立，
即k＜

x+xlnx

x-1

對(duì)任意x＞e²恒成立．…（5分）
令g（x）=

x+xlnx

x-1

，則g′（x）=

x-lnx-2

(x-)2

…（6分）
令h（x）=x-lnx-2（x＞e²），則h′（x）=1-

1

x

，
所以函數(shù)h（x）在（e²，+∞）上單調(diào)遞增…（8分）
所以h（x）＞h（e²）=e²-4＞0，可得g'（x）＞0
故函數(shù)g（x）=

x+xlnx

x-1

在（e²，+∞）上單調(diào)遞增．
所以g（x）＞g（e）=

3e2

e2-1

…（11分）
∴k≤g（e²）．
故整數(shù)k的最大值是3．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查整數(shù)的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．