Question

設O是銳角△ABC的外心，若∠C=75°，且△AOB，△BOC，△COA的面積滿足關系式S_△AOB+S_△BOC=

3

S_△COA，求∠A．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：根據(jù)C的度數(shù)，利用內角和定理用A表示出B，設圓O為△ABC外接圓，令圓O半徑為r，可得OA=OB=OC=r，利用圓周角定理得到∠AOB=2∠C=150°，∠BOC=2∠A，∠COA=2∠B，分別表示出三角形AOB，三角形BOC，以及三角形COA的面積，代入已知等式，整理后求出cos2A的值，進而確定出A的度數(shù)，檢驗即可．

解答： 解：由題意得∠B=180°-∠A-∠C=105°-∠A，
設圓O為△ABC外接圓，令圓O半徑為r，
∴OA=OB=OC=r，∠AOB=2∠C=150°，∠BOC=2∠A，∠COA=2∠B，
∴S_△AOB=

1

2

OA•OB•sin∠AOB=

1

4

r²； S_△BOC=

1

2

OB•OC•sin∠BOC=

1

2

r²sin2A； S_△COA=

1

2

OC•OA•sin∠COA=

1

2

r²sin2B，
代入已知等式得：

1

4

r²+

1

2

r²sin2A=

3

×

1

2

r²sin2B，
整理得：1+2sin2A=2

3

sin2B=2

3

sin（210°-2A）=2

3

（sin210°cos2A-cos210°sin2A）=2

3

（

3

2

sin2A-

1

2

cos2A）=3sin2A-

3

cos2A，
即1+

3

cos2A=sin2A，
兩邊平方得：1+2

3

cos2A+3cos²2A=sin²2A=1-cos²2A，
整理得：cos2A（

3

+2cos2A）=0，
可得cos2A=0或cos2A=-

3

2

，
∵△ABC為銳角三角形，∴0＜∠A＜90°，
∴0＜2∠A＜180°，
當cos2A=0時，2∠A=90°，即∠A=45°；
當cos2A=-

3

2

時，2∠A=150°，即∠A=75°，
由S_△AOB+S_△BOC=

3

S_△COA等同于sin2C+sin2A=

3

sin2B，
當∠A=45°時，∠C=75°，∠B=60°，代入該條件，符合；
當∠A=75°時，∠C=75°，∠B=30°，代入該條件，不符合，舍去，
則∠A=45°．

點評：此題考查了三角形的面積公式，三角形外心性質，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握三角形的面積公式是解本題的關鍵．