已知函數(shù)f(x)=
1+ln(x-1)
x-a
(a為常數(shù)),x=2是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn).
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)如果當(dāng)x≥2時(shí),不等式f(x)≥
m
x
恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值;
(Ⅲ)求證:n-2(
1
2
+
2
3
+
3
4
+…+
n
n+1
)<ln(n+1)
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專(zhuān)題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)由題意得:f(x)=
x-a
x-1
-1-ln(x-1)
(x-a)2
,由x=2是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),得f′(2)=0,解得:a=1,
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=
1+ln(x-1)
x-1
,定義域?yàn)椋?,+∞),得問(wèn)題等價(jià)于m≤x•
1+ln(x-1)
x-1
在[2,+∞)上恒成立,構(gòu)造函數(shù)g(x)=x•
1+ln(x-1)
x-1
,則g′(x)=
x-1-ln(x-1)
(x-1)2
,令h(x)=x-1-ln(x-1),則h′(x)=
x-2
x-1
,得h(x)≥h(2)=1>0,從而g(x)在[2,+∞)遞增,進(jìn)而求出m的范圍.
(Ⅲ)由(Ⅱ)得:x≥2時(shí),f(x)≥
2
x
,即
1+ln(x-1)
x-1
2
x
,令x-1=
k+1
k
,得n-2(
1
2
+
2
3
+…+
n
n+1
)<ln(
2
1
×
3
2
×…×
n+1
n
),即n-2(
1
2
+
2
3
+…+
n
n+1
)<ln(n+1).
解答: 解:(Ⅰ)由題意得:f(x)=
x-a
x-1
-1-ln(x-1)
(x-a)2
,
∵x=2是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),
∴f′(2)=0,解得:a=1,
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=
1+ln(x-1)
x-1
,定義域?yàn)椋?,+∞),
∴問(wèn)題等價(jià)于m≤x•
1+ln(x-1)
x-1
在[2,+∞)上恒成立,
構(gòu)造函數(shù)g(x)=x•
1+ln(x-1)
x-1
,則g′(x)=
x-1-ln(x-1)
(x-1)2
,
令h(x)=x-1-ln(x-1),則h′(x)=
x-2
x-1

∴x≥2時(shí),h′(x)>0,h(x)在[2,+∞)遞增,
∴h(x)≥h(2)=1>0,
∴g′x)>0,
∴g(x)在[2,+∞)遞增,
∴g(x)min=g(2)=2,∴m≤2,

∴實(shí)數(shù)m的最大值為2;
(Ⅲ)由(Ⅱ)得:x≥2時(shí),f(x)≥
2
x
,即
1+ln(x-1)
x-1
2
x
,
整理得ln(x-1)≥1-
2
x
>1-
2
x-1

令x-1=
k+1
k
,則1-
2
x-1
=1-2
k
k+1
,
即ln
k+1
k
>1-2
k
k+1
,
k=1時(shí),1-2×
1
2
<ln
2
1

k=2時(shí),1-2×
2
3
<ln
3
2
,
…,
k=n時(shí),1-2
n
n+1
<ln
n+1
n
,
將以上不等式兩端分別相加得:
n-2(
1
2
+
2
3
+…+
n
n+1
)<ln(
2
1
×
3
2
×…×
n+1
n
),
即n-2(
1
2
+
2
3
+…+
n
n+1
)<ln(n+1).
點(diǎn)評(píng):本題考察了函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)的最值問(wèn)題,求參數(shù)的范圍問(wèn)題,關(guān)于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道綜合題.
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1
2
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3
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