Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為R，滿足f（x+1）=

1-f(x)

1+f(x)

．
（1）證明：2是f（x）的一個周期；
（2）當(dāng)x∈[0，1）時，f（x）=x，求f（x）在[-1，0）上的解析式；
（3）對滿足（2）的函數(shù)f（x），f（x）=ax有且僅有100個根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的周期性,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）證明f（x+1+2）=f（x+1）即可；
（2）設(shè)x∈[0，1），則x-1∈[-1，0），f（x）=x，由f（x+1）[1+f（x）]=1-f（x）即可推出f（x）=-

x

x+2

；
（3）f（x）在[-1，0）上的函數(shù)圖象最大值為1．最小值為0，a×100≥1所以a≥

1

100

，a×99＜1所以a＜

1

99

，故

1

100

≤a＜

1

99

．

解答： 解：（1）由題意得：∵f（x+2）=f（x+1+1）=

1-f(x+1)

1+f(x+1)

∴f（x+2+1）=

1-f(x+2)

1+f(x+2)

=

1- 1-f(x+1) 1+f(x+1)

1+ 1-f(x+1) 1+f(x+1)

=f（x+1）=

1-f(x)

1+f(x)

．
所以2是f（x）的一個周期；
（2）設(shè)x∈[0，1），則x-1∈[-1，0），
f（x）=x⇒f（x+1）=x+1
因為f（x+1）[1+f（x）]=1-f（x）
⇒（x+1）[1+f（x）]=1-f（x）
⇒f（x）=-

x

x+2

（3）作出f（x）在[-1，0）上的函數(shù)圖象，顯然，最大值為1．最小值為0
所以，在每個周期內(nèi)與函數(shù)有2個交點，即f（x）=ax有2個根
如果有100個根，則需要50個周期
也就是說，當(dāng)x=100時，ax≥1
所以a×100≥1所以a≥

1

100

當(dāng)x=99時，ax＜1 當(dāng)
所以a×99＜1所以a＜

1

99

所以

1

100

≤a＜

1

99

點評：本題主要考察了函數(shù)的周期性，根的存在性及根的個數(shù)判斷，屬于中檔題．