Question

【題目】已知橢圓及點(diǎn)，若直線與橢圓交于點(diǎn)，且（ 為坐標(biāo)原點(diǎn)），橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若斜率為的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)1.

【解析】試題分析： 由橢圓的離心率公式得到，設(shè)點(diǎn)在第一象限，由橢圓的對(duì)稱性可知，所以，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后聯(lián)立方程求得，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，求得或，設(shè)，求出的值，又由題意得， 到直線的距離，進(jìn)而求得面積的最大值

解析：（1）由橢圓的離心率為，得，所以.

設(shè)點(diǎn)在第一象限，由橢圓的對(duì)稱性可知，所以，

因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，

代入橢圓的方程得，與聯(lián)立，

可得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)直線的方程為，由得.

由題意得， ，

整理得，所以或.

設(shè)，則，

所以

.

又由題意得， 到直線的距離.

的面積

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，且此時(shí)滿足，

所以面積的最大值為1.