Question

武漢電視臺(tái)為了宣傳武漢城市圈的情況，特舉辦了一期有獎(jiǎng)知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)，活動(dòng)對(duì)18～48歲的人群隨機(jī)抽取n人回答問(wèn)題“武漢城市圈包括哪幾個(gè)城市”，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)結(jié)果如表：

組數(shù)	分組	回答正確的人數(shù)	占本組的頻率
第1組	[18，28）	240	x
第2組	[28，38）	300	0.6
第3組	[38，48]	a	0.4

（1）分別求出n，a，x的值；
（2）依據(jù)如圖頻率分布直方圖求參與活動(dòng)人群年齡的眾數(shù)的估計(jì)值是多少？中位數(shù)的估計(jì)值是多少？
（3）若以表中的頻率近似看作各年齡組正確回答問(wèn)題的概率，規(guī)定年齡在[38，48]內(nèi)回答正確的得獎(jiǎng)金200元，回答錯(cuò)誤的得鼓勵(lì)獎(jiǎng)金20元，年齡在[18，28）內(nèi)回答正確的得獎(jiǎng)金100元，回答錯(cuò)誤的得鼓勵(lì)獎(jiǎng)金10元，主持人隨機(jī)請(qǐng)一家庭的兩個(gè)成員（父親46歲，孩子21歲）回答問(wèn)題，設(shè)該家庭獲得獎(jiǎng)金數(shù)為t元，記事件A為“數(shù)列an=-5n2+

t-40

n為遞減數(shù)列”，求事件A發(fā)生的概率P（A）．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由頻率表中第2組數(shù)據(jù)可知第2組總?cè)藬?shù)為

300

0.6

，再結(jié)合頻率分布直方圖可得a值和x值；
（2）依據(jù)上頻率分布直方圖可得要求的數(shù)值特征；
（3）可得父親回答正確的概率為0.4，孩子回答正確的概率為0.8，由題意可知該家庭獲得獎(jiǎng)金數(shù)為t元，t的值有300，210，120，30，由數(shù)列的知識(shí)可得40≤t＜265，則t=120，210，可得概率．

解答： 解：（1）由頻率表中第2組數(shù)據(jù)可知第2組總?cè)藬?shù)為

300

0.6

=500，
再結(jié)合頻率分布直方圖可知n=

500

0.05×10

=1000，
∴a=1000×0.02×10×0.4=80，
∴x=

240

1000×0.03×10

=0.8
（2）依據(jù)上頻率分布直方圖求參與活動(dòng)人群年齡的眾數(shù)的估計(jì)值在[28，38）中，
即眾數(shù)的估計(jì)值為

28+38

2

=33，
中位數(shù)的估計(jì)值在[28，38）中，0.03×10+（t-28）×0.05=0.5，得t=32，
即中位數(shù)的估計(jì)值為32
（3）父親回答正確的概率為0.4，孩子回答正確的概率為0.8，
由題意可知該家庭獲得獎(jiǎng)金數(shù)為t元，t的值有300，210，120，30，
又an=-5n2+

t-40

n為遞減數(shù)列，
則a_n+1＜a_n對(duì)于對(duì)一切n∈N^*均成立，
即-5(n+1)2+

t-40

(n+1)＜-5n2+

t-40

n，
得

t-40

＜10n+5對(duì)一切n∈N^*均成立，
即

t-40

＜15，解得40≤t＜265，則t=120，210，
即父親回答錯(cuò)誤且孩子回答正確或父親回答正確且孩子回答錯(cuò)誤，
則P（A）=（1-0.4）×0.8+0.4×（1-0.8）=0.56

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型及其概率公式，涉及頻率分布直方圖和數(shù)列，屬中檔題．