Question

過點(diǎn)M（1，1）作斜率為-

1

2

的直線與橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A，B，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為（　�。�

• A、

  2

  2

• B、

  3

  3

• C、

  1

  2

• D、

  1

  3

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用點(diǎn)差法，結(jié)合M是線段AB的中點(diǎn)，斜率為-

1

2

，即可求出橢圓C的離心率．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x12 a2 + y12 b2 =1 x22 a2 + y22 b2 =1

，
∵過點(diǎn)M（1，1）作斜率為-

1

2

的直線與橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，
M是線段AB的中點(diǎn)，
∴兩式相減可得

2

a2

+(-

1

2

)•

2

b2

=0，
∴a=

2

b，
∴c=

a2-b2

=b，
∴e=

c

a

=

2

2

．
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查橢圓C的離心率的求法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用點(diǎn)差法是解題的關(guān)鍵．