Question

【題目】如圖，一個的矩形（），被截取一角（即），， ，平面平面， .

（1）證明： ；

（2）求二面角的大小的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）過作，由面面垂直性質(zhì)定理得平面，即得，再在平面內(nèi)，根據(jù)平幾知識計算可得．最后根據(jù)線面垂直判定定理得平面，即得．（2）求二面角，一般利用空間向量進行求解，先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，利用方程組解出各面法向量，利用向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角之間關(guān)系求解.

試題解析：（Ⅰ）證明：因為， ，

所以， ，

所以截去的是等腰直角三角形．

如圖，過作，垂足為，連接，

因為，所以， ．

，故是等腰直角三角形，所以，

所以，即．

因為平面平面，平面平面， 平面，

所以平面，所以，而，

所以平面，又平面，

所以．

（Ⅱ）解：如圖4，以為原點， 所在直線分別為軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則， ， ， ．

所以， ， ．

設(shè)平面的法向量為，則

由得

所以平面的一個法向量為．

設(shè)平面的法向量為，則

由得

所以平面的一個法向量為，

所以，

因為二面角為鈍二面角，

所以二面角的大小的余弦值為．