Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣（a+1）x+1（a∈R）
（1）若關于x的不等式f（x）＞0的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若關于x的不等式f（x）≤0的解集為P，集合Q={x|0≤x≤1}，若P∩Q=，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x2﹣（a+1）x+1（a∈R），

且關于x的不等式f（x）≥0的解集為R，

∴△=（a+1）2﹣4≤0，

解得﹣3≤a≤1，

∴實數(shù)a的取值范圍是﹣3≤a≤1

（2）解：∵關于x的不等式f（x）≤0的解集是P，

集合Q={x|0≤x≤1}，當 P∩Q=時，

即不等式f（x）＞0對x∈Q恒成立；

∴x∈[0，1]時，x2﹣（a+1）x+1＞0恒成立，

∴a+1＜x+ 對于x∈（0，1]時恒成立；

∴a+1＜2，

即a＜1，

∴實數(shù)a的取值范圍是a＜1

【解析】（1）應用一元二次不等式恒成立時判別式△≤0，求出a的取值范圍；（2）問題轉化為不等式f（x）＞0對x∈Q恒成立，由此求出a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的二次函數(shù)的性質，需要了解當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減才能得出正確答案．