Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=4，an+1=3an﹣2（n∈N+）
（1）求證：數(shù)列{an﹣1}為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式；
（2）令bn=log3（a1﹣1）+log3（a2﹣1）+…+log3（an﹣1），求數(shù)列{ }的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵an+1=3an﹣2（n∈N+），

∴an+1﹣1=3（an﹣1），

∴數(shù)列{an﹣1}為等比數(shù)列，a1﹣1=3．

∴an﹣1=3n，

∴ ．

（2）解：由（1）可得log3（an﹣1）=n．

∴bn=log3（a1﹣1）+log3（a2﹣1）+…+log3（an﹣1）=1+2+…+n= ．

∴ = =2 ．

∴數(shù)列{ }的前n項和Tn= +…+

=

= ．

【解析】（1）由an+1=3an﹣2（n∈N+），變形為an+1﹣1=3（an﹣1），即可證明．（2）由（1）可得log3（an﹣1）=n．可得bn=1+2+…+n= ．可得 = =2 ．利用“裂項求和”即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等比數(shù)列的通項公式（及其變式）的相關知識，掌握通項公式：，以及對數(shù)列的前n項和的理解，了解數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系．