Question

下列四個(gè)命題：
①函數(shù)y=f（a+x）（x∈R）與y=f（a-x）（x∈R）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)；
②函數(shù)f（x）=lg（ax²-2x+a）的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，1]；
③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞

1

2

”的充分不必要條件；
④數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n²+λn+2（n∈N₊），若{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（-3，+∞）．
其中真命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)變換法則，可判斷①；根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷②；根據(jù)充要條件的定義和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷③；根據(jù)遞增數(shù)列的定義，可判斷④

解答： 解：對(duì)于①，函數(shù)y=f（a+x）（x∈R）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)變換后得到y(tǒng)=f[a+（2a-x）]=f（3a-x）（x∈R）的圖象，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，若函數(shù)f（x）=lg（ax²-2x+a）的值域?yàn)镽，令y=ax²-2x+a的值域?yàn)锳，則（0，+∞）⊆A，當(dāng)a=0時(shí)，滿足條件，
當(dāng)a≠0時(shí)，須a＞0且△=4-4a²≥0，解得0＜a≤1；　
綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，1]；故②正確
③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞

1

2

”的必要不充分條件；
④數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n²+λn+2（n∈N₊），則a_n+1=（n+1）²+λ（n+1）+2，
若{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，則a_n+1-a_n=2n+1+λ＞0恒成立，
即λ＞-（1+2n）≥-3，
故實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（-3，+∞）．故④正確；
故真命題的序號(hào)是②④，
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)變換，對(duì)數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)列的單調(diào)性等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．