設(shè)函數(shù)f（x）=sinx-cosx+x+a．
（1）若0＜a＜1，證明：f（x）在區(qū)間（0，
π
4
）上有且只有一個零點；
（2）若對任意x∈（0，
π
2
），不等式f（x）＞2x恒成立，求a的取值范圍．
考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)零點的判定定理
專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,三角函數(shù)的求值
分析：（1）求導(dǎo)并判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)零點的判定定理可證明．
（2）不等式f（x）＞2x可化為sinx-cosx-x+a＞0，即a＞x-sinx+cosx，令h（x）=x-sinx+cosx，從而化恒成立問題為最值問題．
解答： 解：（1）證明：∵f′（x）=cosx+sinx+1＞0，x∈（0，
π
4
），
∴函數(shù)f（x）=sinx-cosx+x+a在（0，
π
4
）上單調(diào)遞增，
又∵f（0）=0-1+0+a=a-1＜0，f（
π
4
）=
π
4
+a＞0，
∴f（x）在區(qū)間（0，
π
4
）上有且只有一個零點；
（2）不等式f（x）＞2x可化為sinx-cosx-x+a＞0，
即a＞x-sinx+cosx，
令h（x）=x-sinx+cosx，
則h′（x）=1-cosx-sinx=1-
2
sin（x+
π
4
），
∵x∈（0，
π
2
），
∴h′（x）＜0，
∴h（x）=x-sinx+cosx在（0，
π
2
）上單調(diào)遞減，
故a＞x-sinx+cosx恒成立可化為a≥0-sin0+cos0，
即a≥1．
點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了函數(shù)零點的判定定理與恒成立問題，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

用列舉法表示集合{x∈N|2x+3≥3x}為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列四個命題：
①函數(shù)y=f（a+x）（x∈R）與y=f（a-x）（x∈R）的圖象關(guān)于直線x=a對稱；
②函數(shù)f（x）=lg（ax2-2x+a）的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍為[0，1]；
③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞
1
2
”的充分不必要條件；
④數(shù)列{an}的通項公式為an=n2+λn+2（n∈N+），若{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍為（-3，+∞）．
其中真命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
log2x，x＞0
3x，x≤0
則方程f（x）=1解的個數(shù)為（　　）
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一圓臺形花盆，盆口直徑20厘米，盆底直徑15厘米底部滲水圓孔直徑1.5厘米，盆壁長15厘米，為美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂100個這樣的花盆要多少油漆？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知an+1+an=6n+3，求數(shù)列an．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知|F1F2|=m，點P到兩點F1、F2距離之差的絕對值為n（n＜m）．設(shè)點P的軌跡為C，過F1作AB⊥F1F2且交曲線C于點A、B，若△ABF2是直角三角形，則
m
n
的值為（　�。�
A、
2
+
1
4
B、
2
+1
C、
2
-1
D、
2
-
1
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（ax2+x-1）ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（Ⅰ）若a＜0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a=-1，函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=
1
3
x3+
1
2
x2+m的圖象有3個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列三個等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），f（x+y）=f（x）+f（y），下列函數(shù)中不滿足其中任何一個等式的是（　　）
A、f（x）=3x
B、f（x）=x
C、f（x）=log2x
D、f（x）=x2

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