Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線.

（1）過(guò)曲線的左頂點(diǎn)作的兩條漸近線的平行線，求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積；

（2）設(shè)斜率為的直線交曲線于、兩點(diǎn)，若與圓相切，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）求出雙曲線的左頂點(diǎn)的坐標(biāo)和漸近線方程，求出過(guò)曲線的左頂點(diǎn)作的漸近線的平行線方程，求出直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求得由這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積；

（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，由直線與圓相切得出，再將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和韋達(dá)定理，計(jì)算出，由此能證明出.

（1）左頂點(diǎn)，漸近線方程為，

過(guò)點(diǎn)與漸近線平行的直線方程為，即.

解方程組，得，

因此，所求平行四邊形的面積；

（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，

因直線與圓相切，故，即.

由，得.

由韋達(dá)定理得，，

，

因此，.