Question

已知函數(shù)f（x）=mx³+nx²（m、n∈R，m≠0），函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）用關(guān)于m的代數(shù)式表示n；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）當m＞0，若函數(shù)g（x）=f（x）+1-m有三個零點，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f′（2）=0得到m與n的關(guān)系；
（2）把n=-3m代入函數(shù)解析式，分m＞0和m＜0由導(dǎo)函數(shù)的符號得到函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（3）把f（x）代入g（x）=f（x）+1-m，利用導(dǎo)數(shù)求出其極值，利用極大值大于0且極小值小于0聯(lián)立不等式組求解m的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知得f′（x）=3mx²+2nx，
又f′（2）=0，3m+n=0，即n=-3m；
（2）∵n=-3m，
∴f（x）=mx³-3mx²，
∴f′（x）=3mx²-6mx．
令f′（x）＞0，得
當m＞0時，x＜0或x＞2，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞）；
當m＜0時，解得0＜x＜2，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0，2）．
綜上，當m＞0時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞）；
當m＜0時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0，2）．
（3）由g（x）=f（x）+1-m=mx³-3mx²+1-m（m＞0），
g′（x）=3mx²-6mx=3mx（x-2）．
當g′（x）＞0時，解得x＜0或x＞2，則函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞）；
當g′（x）＜0時，解得0＜x＜2，則函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2）．
∴g（x）有極大值g（0）=1-m和極小值g（2）=1-5m．
∵函數(shù)g（x）=f（x）+1-m有三個零點，
∴

1-m＞0 1-5m＜0

，解得：

1

5

＜m＜1．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，過曲線上某點處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)值，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．