Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E，F(xiàn)分別為PA、AC的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求點F到平面ABE的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AD中點G，并連接EG，F(xiàn)G，BD，根據(jù)中位線的平行性質(zhì)，及線面平行、面面平行的判定定理即可判定平面EFG∥平面PAB，而EF?平面EFG，所以EF∥平面PAB；
（Ⅱ）容易說明PD⊥平面ABE，而取BE中點H，連接FH，則FH∥ED，所以FH⊥平面ABE，所以求線段FH的長度即是點F到平面ABE的距離．并且能得到FH=

1

4

PD，而PD在直角三角形PAD中，由PA=AD=1，是可以求出來的．這樣也就求出了點F到平面ABE的距離．

解答： 解：（Ⅰ）證明：如圖，取AD中點G，連接EG，F(xiàn)G，BD則：
EG∥PA，F(xiàn)G∥AB；
PA?平面PAB，EG?平面PAB；
∴EG∥平面PAB，同理FG∥平面PAB，EG∩FG=G；
∴平面EFG∥平面PAB，EF?平面EFG；
∴EF∥平面PAB；

（Ⅱ）PA=AD，E是PD中點，∴AE⊥PD，即PD⊥AE；
PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD；
∴PA⊥AB，即AB⊥PA，又AB⊥AD；
∴AB⊥平面PAD，PD?平面PAD；
∴AB⊥PD，即PD⊥AB，AE∩AB=A；
∴PD⊥平面ABE，取BE中點H，連接FH；
∵F是BD中點，∴FH∥ED，∴FH⊥平面ABE，且FH=

1

2

ED，又ED=

1

2

PD；
∴FH=

1

4

PD；
在Rt△PAD中，PA=AD=1，∴PD=

2

；
∴FH=

2

4

；
即點F到平面ABE的距離為

2

4

．

點評：考查中位線的性質(zhì)，線面平行、面面平行的判定定理，面面平行的性質(zhì)，線面垂直的判定定理．