Question

已知函數(shù)f（x）=

ax，(x≥0) (1-2a)x-4a+4，(x＜0)

，其中a＞0且a≠1．
（1）若f（f（-2））=

1

9

，求a的值；
（2）若f（x）在R上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）逐步代入，求得f（-2）=2，得f（f（-2））=f（2），計(jì)算即可．
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)求出a相應(yīng)的范圍，注意若f（x）在R上單調(diào)遞減，f（x）=（1-2a）x-4a+4的最小值大于等于f（x）=a^x的最大值，繼而求出a的范圍．

解答： 解：（1）由f（-2）=-2（1-2a）-4a+4=2＞0，則f（f（-2））=f（2）=a²=

1

9

，
∵a＞0且a≠1．
∴a=

1

3

（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=a^x，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，f（x）是減函數(shù)則0＜a＜1，
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=（1-2a）x-4a+4，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，f（x）是減函數(shù)則1-2a＜0，解得a＞

1

2

因?yàn)閒（x）在R上單調(diào)遞減-4a+4≥a⁰解得，a≤

3

4

綜上所述a的取值范圍（

1

2

，

3

4

]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了分段函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值的求法，f（x）=（1-2a）x-4a+4的最小值大于等于f（x）=a^x的最大值是本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．