Question

已知雙曲線(xiàn)－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F(c,0)．

(1)若雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為y＝x且c＝2，求雙曲線(xiàn)的方程；

(2)以原點(diǎn)O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為A，過(guò)A作圓的切線(xiàn)，斜率為－，求雙曲線(xiàn)的離心率．

Answer 1

解　(1)∵雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為y＝±x，∴a＝b，

∴c²＝a²＋b²＝2a²＝4，∴a²＝b²＝2，

∴雙曲線(xiàn)方程為－＝1.

(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x₀，y₀)，

∴直線(xiàn)AO的斜率滿(mǎn)足·(－)＝－1，

∴x₀＝y₀，①

依題意，圓的方程為x²＋y²＝c²，

將①代入圓的方程，得3y＋y＝c²，即y₀＝c，

∴x₀＝c，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，代入雙曲線(xiàn)方程，得＝1，即b²c²－a²c²＝a²b²，②

又∵a²＋b²＝c²，∴將b²＝c²－a²代入②式，整理得

c⁴－2a²c²＋a⁴＝0，

∴3⁴－8²＋4＝0，∴(3e²－2)(e²－2)＝0，

∵e＞1，∴e＝.∴雙曲線(xiàn)的離心率為.