Question

若關(guān)于x的兩個(gè)不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分別為（a，b）和(

1

b

，

1

a

)，則稱這兩個(gè)不等式為“對(duì)偶不等式”．如果不等式x2-4

3

xcos2θ+2＜0與不等式2x²+4xsin2θ+1＜0為對(duì)偶不等式，且θ∈(0，

π

2

)，則θ=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：依題意知，a、b為方程x²-4

3

xcos2θ+2=0的兩根，

1

a

、

1

b

為方程2x²+4xsin2θ+1=0的兩根，利用韋達(dá)定理可得2sin（2θ+

π

3

）=0，θ∈（0，

π

2

），從而可求θ．

解答： 解：依題意知，a、b為方程x²-4

3

xcos2θ+2=0的兩根，

1

a

、

1

b

為方程2x²+4xsin2θ+1=0的兩根，
∴a+b=4

3

cos2θ，ab=2，

1

a

+

1

b

=-2sin2θ，
∵

1

a

+

1

b

=

a+b

ab

，
∴-2sin2θ=2

3

cos2θ，即

3

cos2θ+sin2θ=0，
∴2sin（2θ+

π

3

）=0，
∴2θ+

π

3

=kπ（k∈Z），
∴θ=

kπ

2

-

π

6

（k∈Z），又θ∈（0，

π

2

），
∴k=1時(shí)，θ=

π

3

．
故答案為：

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查方程思想與韋達(dá)定理的應(yīng)用，求得sin（2θ+

π

3

）=0是關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．