Question

【題目】已知橢圓： （）的左焦點與拋物線的焦點重合，直線與以原點為圓心，以橢圓的離心率為半徑的圓相切．

（Ⅰ）求該橢圓的方程；

（Ⅱ）過點的直線交橢圓于， 兩點，線段的中點為， 的垂直平分線與軸和軸分別交于， 兩點．記的面積為， 的面積為．問：是否存在直線，使得，若存在，求直線的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知得， ，由此得橢圓方程；

（Ⅱ）假設(shè)存在直線AB，使得S1=S2，由題意直線AB不能與x，y軸垂直，設(shè)直線AB的方程為（）代入整理得，由此利用韋達(dá)定理、直線垂直、三角形相似等知識，結(jié)合已知條件能求出結(jié)果．

試題解析：

（Ⅰ）由題意，得， ，即，∴，

∴所求橢圓的方程為．

（Ⅱ）假設(shè)存在直線使，顯然直線不能與， 軸垂直．

∴直線的斜率存在，設(shè)其方程為（），

將其代入整理得，

設(shè)， ， ， ，

∴，

∵，∴，

解得，即，

∵，∴，∴，

即，又∵，∴，

∴，

整理得因為此方程無解，故不存在直線滿足．