Question

已知雙曲線

y2

3

-x²=1一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x²=ay（a＞0）的焦點(diǎn)F重合，O為原點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線上，且|AF|=4，則|PA|+|PO|的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用拋物線的定義由|AF|=4得到A到準(zhǔn)線的距離為4，即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)：“|PA|+|PO|”最小相當(dāng)于在準(zhǔn)線上找一點(diǎn)，使得它到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和最小，最后利用平面幾何的方法即可求出距離之和的最小值．

解答： 解：拋物線x²=ay（a＞0）的焦點(diǎn)F（0，

a

4

），
而雙曲線

y2

3

-x²=1的焦點(diǎn)為（0，±2），
則2=

a

4

，即有a=8，
則有拋物線的焦點(diǎn)為（0，2），準(zhǔn)線為y=-2，
∵|AF|=4，由拋物線的定義得，
∴A到準(zhǔn)線的距離為4，即A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，
又點(diǎn)A在拋物線上，不妨取A的坐標(biāo)A（4，2）；
坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為B（0，-4），
則|PA|+|PO|的最小值為：|AB|=

(4-0)2+(2+4)2

=2

13

．
故答案為：2

13

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)解決最小值問題，靈活運(yùn)用點(diǎn)到點(diǎn)的距離、對(duì)稱性化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．