Question

【題目】已知圓，圓心為點(diǎn)，點(diǎn)是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)和半徑相交于點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).

（l）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;

（2）若為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，|的最大值;

（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩點(diǎn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)：若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)3；(3) 存在,點(diǎn)

【解析】

（1）連接，根據(jù)中垂線(xiàn)性質(zhì)可知，可得，滿(mǎn)足橢圓定義；（2）根據(jù)（1）可知，點(diǎn)，是橢圓的焦點(diǎn)，所以，利用基本不等式求的最大值；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，直線(xiàn)方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得，利用韋達(dá)定理得到，由

代入坐標(biāo)表示，求.

解：（1）連接，是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)：

點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和為定值，

點(diǎn)的軌跡是以兩點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，

動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為

（2）為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立

（3）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，直線(xiàn)方程為，代入橢圓方程，得

由

由于對(duì)任意恒成立，因此

恒成立

即恒成立

恒成立，因此

綜上所述，存在點(diǎn)滿(mǎn)足題意