Question

【題目】已知中心在原點，焦點在軸上，離心率為的橢圓過點

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)不過原點的直線與該橢圓交于兩點，滿足直線的斜率依次成等比數(shù)列，求面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題（1）先設(shè)出橢圓方程為，再根據(jù)條件離心率為及橢圓上的點，代入即可得到橢圓方程；（2）先設(shè)出直線方程及，然后聯(lián)立橢圓方程得到及．再由直線的斜率依次成等比數(shù)列得到，由得到．代入中及直線的斜率存在得到，且，然后由點到直線的距離公式及兩點間距離公式得到面積．最后由基本不等式得到，從而得到面積的取值范圍．

試題解析：（1）由題意可設(shè)橢圓方程為，則（其中，），且，故．

所以橢圓的方程為．

（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為0．故可設(shè)直線：，

設(shè)，

由，消去得，

則，

且，

故，

因為直線的斜率依次成等比數(shù)列，

所以，即．

又，所以，即．

由于直線的斜率存在，且，得，且，

設(shè)為點到直線的距離，則，

，

所以，

故面積的取值范圍為．