Question

已知橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其離心率為

1

2

，經(jīng)過橢圓焦點且垂直于長軸的弦長為3．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m（|k|≤

1

2

）與橢圓C交于A、B兩點，P為橢圓上的點，O為坐標原點，且滿足

OP

=

OA

+

OB

，求|

OP

|的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得

e= c a = 1 2 b2 a = 3 2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用根的判別式、韋達定理、兩點間距離公式能求出|

OP

|的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得

e= c a = 1 2 b2 a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=3．
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ）由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，消y化簡整理得：
（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）＞0，①
設(shè)A，B，P點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₀，y₀），
則x₀=x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，y₀=y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

6m

3+4k2

．…（8分）
由于點P在橢圓C上，所以

x02

4

+

y02

3

=1．
從而

16k2m2

(3+4k2)x2

+

12m2

(3+4k2)2

=1，化簡得4m²=3+4k²，經(jīng)檢驗滿足①式．
又|OP|=

x02+y02

=

64k2m2 (3+4k2)2 + 36m2 (3+4k2)2

=

4m2(16k2+9) (3+4k2)2

=

16k2+9 4k2+3

=

4- 3 4k2+3

，
因為|k|≤

1

2

，得3≤4k2+3≤4，有

3

4

≤

3

4k2+3

≤1，
故

3

≤|OP|≤

13

2

．…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查線段的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、兩點間距離公式的合理運用．