Question

11．已知拋物線E：x²=2py（p＞0），過(guò)點(diǎn)M（1，-1）作拋物線E的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$．
（1）求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）與圓x²+（y-1）²=1相切的直線l：y=kx+m（其中m∈（2，4]），與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，若在拋物線上存在點(diǎn)C，使$\overrightarrow{OC}$=λ$（\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}）$（λ＞0），求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出直線AB的方程為x-py+p=0，利用直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$，從而求p，即可求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由題意設(shè)直線y=kx+m，又直線l與圓（y-1）²+x²=1相切，所以$\frac{|m-1|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，即k²=m²-2m，由直線方程與拋物線聯(lián)立可得△=16k²+16m＞0，進(jìn)而由韋達(dá)定理可得$λ=1+\frac{1}{2（m-2）}$，從而求λ的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則點(diǎn)A處拋物線的切線為$y=\frac{x_1}{p}x-{y_1}$，過(guò)點(diǎn)M（1，-1），因而x₁-py₁+p=0；
同理，點(diǎn)B處拋物線的切線為$y=\frac{x_2}{p}x-{y_2}$，過(guò)點(diǎn)M（1，-1），因而x₂-py₂+p=0．
兩式結(jié)合，說(shuō)明直線x-py-p=0過(guò)A，B兩點(diǎn)，也就是直線AB的方程為x-py+p=0．
由已知直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$，知p=2．
故所求拋物線的方程為x²=4y．
（2）直線l的方程為y=kx+m，又直線l與圓（y-1）²+x²=1相切，
所以$\frac{|m-1|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，即k²=m²-2m．
與拋物線方程聯(lián)立，即$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}=4y}\end{array}}\right.$，
化簡(jiǎn)消y得x²-4kx-4m=0，△=16k²+16m＞0，∴m＞1或m＜0，∵2＜m≤4，∴△＞0恒成立．
設(shè)P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），則x₃+x₄=4k，${y_3}+{y_4}=k（{x_3}+{x_4}）+2m=4{k^2}+2m$．
由$\overrightarrow{OC}=λ（\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}）（λ＞0）$，則$\overrightarrow{OC}=（4kλ，λ（4{k^2}+2m））$，
又點(diǎn)C在拋物線上，則$λ=1+\frac{1}{2（m-2）}$，所以λ的取值范圍為$[\frac{5}{4}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線的方程的求法及圓錐曲線與直線的運(yùn)算，屬于難題．