Question

已知曲線C的方程為y²=4x，過原點作斜率為1的直線和曲線C相交，另一個交點記為P₁，過P₁作斜率為2的直線與曲線C相交，另一個交點記為P₂，過P₂作斜率為4的直線與曲線C相交，另一個交點記為P₃，…，如此下去，一般地，過點P_n作斜率為2ⁿ的直線與曲線C相交，另一個交點記為P_n+1，設點P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）．
（1）指出y₁，并求y_n+1與y_n的關系式（n∈N^*）；
（2）求{y_2n-1}（n∈N^*）的通項公式，并指出點列P₁，P₃，…，P_2n+1，…向哪一點無限接近？說明理由；
（3）令a_n=y_2n+1-y_2n-1，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，試比較

3

4

S_n+1與

1

3n+10

的大小，并證明你的結論．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用曲線的相交關系，聯(lián)立方程組求解；
（2）由（1）得出y_2n-1-y_2n-3=-4(

1

4

)n-2（n≥2），再求通項公式，利用極限思想求出接近的點坐標；
（3）由等比數(shù)列的求和公式求得S_n，將問題轉化為比較4ⁿ與3n+10的大小，由二項式定理和放縮法，得4ⁿ=（1+3）ⁿ=1+

C

1 n

•3+

C

2 n

•32+…+

C

n n

•3n＞1+3n+9=3n+10（n≥3），進而驗證n=1，2時也符合，最后綜合原式得證．

解答： 解：（1）由題意得，y₁=4   
設點P_n（x_n，y_n）（n∈N^*），則設點P_n+1（x_n+1，y_n+1），
由題意得

yn2=4xn yn+12=4xn+1 yn+1-yn xn+1-xn =2n

，得yn+1+yn=4•(

1

2

)n…（4分）
（2）分別用2n-3、2n-2代換上式中的n得

y2n-2+y2n-3=4•( 1 2 )2n-3 y2n-1+y2n-2=4•( 1 2 )2n-2

，
得，y2n-1-y2n-3=-2•(

1

2

)2n-3=-4(

1

4

)n-2 （n≥2）…（6分）
又y₁=4，∴y2n-1=

8

3

+

4

3

(

1

4

)n-1（n∈N^*）…（8分）
∵

lim

n→+∞

y2n-1=

8

3

，∴點列P₁，P₃，…，P_2n+1，…向點(

16

9

，

8

3

)無限接近（10分）
（3）（文）∵a_n=y_2n+1-y_2n-1，∴sn=-

4

3

[1-(

1

4

)n]．   …（12分）
則比較

3

4

S_n+1與

1

3n+10

的大小，只要比較4ⁿ與3n+10大小即可．…（13分）
∵4ⁿ=（1+3）ⁿ=1+

C

1 n

•3+

C

2 n

•32+…+

C

n n

•3n＞1+3n+9=3n+10（n≥3）…（15分）
當n=1時，

3

4

S_n+1＞

1

3n+10

                      …（16分）
當n=2時，

3

4

S_n+1=

1

3n+10

                      …（17分）
當n＞2時，

3

4

S_n+1＜

1

3n+10

．                    …（18分）

點評：本題主要考查了直線與曲線的交點問題的處理方法，以及數(shù)列求和的方法，放縮法證明不等式的應用，二項式定理，考查了學生綜合分析問題的能力．