Question

對于函數(shù)f（x）=e^x-lnx，下列結(jié)論正確的一個(gè)是（　�。�

• A、f（x）有極小值，且極小值點(diǎn)x₀∈（0，

  1

  2

  ）
• B、f（x）有極大值，且極大值點(diǎn)x₀∈（0，

  1

  2

  ）
• C、f（x）有極小值，且極小值點(diǎn)x₀∈（

  1

  2

  ，1）
• D、f（x）有極大值，且極大值點(diǎn)x₀∈（

  1

  2

  ，1）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)根存在的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-

1

x

=

xex-1

x

，
設(shè)g（x）=xe^x-1，
g′（x）=（x+1）e^x，
當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）=（x+1）e^x＞0．即g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，f′（

1

2

）=e

1

2

-

1

1 2

=

e

-2＜0，
∴f′（x）在（

1

2

，1）存在一個(gè)根，
則f（x）有極小值，且極小值點(diǎn)x₀∈（

1

2

，1），
故選：C

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)極值的判斷，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．