(文)已知函數(shù)f(x)=
a•2x+a2-2
2x-1
(x∈R,x≠0)
,其中a為常數(shù),且a<0.
(1)若f(x)是奇函數(shù),求a的取值集合A;
(2)當(dāng)a=-1時(shí),求f(x)的反函數(shù);
(3)對(duì)于問題(1)中的A,當(dāng)a∈{a|a<0,a∉A}時(shí),不等式x2-10x+9<a(x-4)恒成立,求x的取值范圍.
考點(diǎn):不等關(guān)系與不等式
專題:不等式的解法及應(yīng)用
分析:(1)由必要條件f(-1)+f(1)=0,得a=-1,當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=
1+2x
1-2x
,任取x≠0,x∈R.f(x)+f(-x)=0,由此能求出A={-1}.
(2)當(dāng)a=-1時(shí),由y=f(x)=
1+2x
1-2x
,得x=log2
y-1
y+1
,互換x,y,能求出f(x)的反函數(shù).
(3)原問題轉(zhuǎn)化為:g(a)=(x-4)a-(x2-10x+9)>0,a∈{a|a<0,a≠-1,a≠-4}恒成立,由此能求出x的取值范圍.
解答: 解:(1)由必要條件f(-1)+f(1)=0,
得a2-a-2=0,a<0,所以a=-1,…2分
下面證充分性,當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=
1+2x
1-2x
,任取x≠0,x∈R.
f(-x)+f(x)=
1+2-x
1-2x
+
1+2x
1-2x

=
2x+1
2x-1
+
1+2x
1-2x
=0恒成立…2分
∴A={-1}.…1分
(2)當(dāng)a=-1時(shí),由y=f(x)=
1+2x
1-2x
,得x=log2
y-1
y+1

互換x,y得f-1(x)=log2
x-1
x+1
,…1分
∴f(x)的反函數(shù)為f-1(x)=log2
x-1
x+1
,x<-1或x>1.…1分
(3)原問題轉(zhuǎn)化為:
g(a)=(x-4)a-(x2-10x+9)>0,
a∈{a|a<0,a≠-1,a≠-4}恒成立
x-4<0
g(0)≥0
x-4=0
g(0)>0

解得x的取值范圍為{1,4}…2分
點(diǎn)評(píng):本題考查集合的求法,考查反函數(shù)的求法,考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx,若f′(x0)=3,則x0=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知直線l的參數(shù)方程為
x=
2
2
t
y=
2
2
t+2
(其中t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圖C的極坐標(biāo)方程為ρ=2
2
cos(θ+
π
4
),則過直線上的點(diǎn)向圓所引切線長(zhǎng)的最小值為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知m,n,m+n成等差數(shù)列,m,n,mn成等比數(shù)列,則橢圓
x2
m
+
y2
n
=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若點(diǎn)(x,y)位于曲線y=|x|與y=2所圍成的封閉區(qū)域,則2x-y的最小值為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(2,3,1),
b
=(1,2,0),則|
a
-
b
|等于
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

冪函數(shù)f(x)=xa(a為實(shí)常數(shù))的圖象過點(diǎn)(2,4),那么f(3)的值為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合A={x||x-a|<1},B={x|1<x<2},且A∪(∁RB)=R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,M是BC的中點(diǎn),AM=4,BC=10,則
AB
AC
=(  )
A、9B、-9C、21D、-21

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案