Question

已知函數f（x）=x+

a

x

，且f（3）=6．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結論；
（3）函數在（3，+∞）上是增函數，還是減函數？并證明你結論．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）直接代入，解方程，即可求得a；
（2）運用奇偶性的定義，先求定義域，再計算f（-x），與f（x）即可得到奇偶性；
（3）運用單調性的定義判斷，注意作差、變形、定符號和下結論幾個步驟．

解答： 解：（1）函數f（x）=x+

a

x

，且f（3）=6，
則3+

a

3

=6，解得，a=9；
（2）f（x）=x+

9

x

為奇函數，
理由如下：定義域{x|x≠0}，關于原點對稱，
f（-x）=-x+

9

-x

=-f（x），則f（x）為奇函數；
（3）函數f（x）在（3，+∞）上是增函數．
理由如下：設3＜m＜n，則f（m）-f（n）=m+

9

m

-（n+

9

n

）
=（m-n）+

9(n-m)

mn

=（m-n）（

mn-9

mn

）
由于3＜m＜n，則m-n＜0，mn＞9，即mn-9＞0，mn＞0，
則f（m）-f（n）＜0，即f（m）＜f（n）．
則函數f（x）在（3，+∞）上是增函數．

點評：本題考查函數的奇偶性和單調性的判斷，注意運用定義解題，考查運算能力，屬于基礎題．