Question

【題目】已知橢圓E：經過點，且離心率.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設橢圓E的右頂點為A，若直線與橢圓E相交于MN兩點(異于A點)，且滿足，試證明直線l經過定點，并求出該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，定點坐標為.

【解析】

（1）由題意的離心率公式，求得，，將點代入橢圓方程，即可求得和的值，即可求得橢圓的標準方程；

（2）將直線方程代入橢圓方程，由題意可知 ，由向量數量積的坐標運算及韋達定理，即可求得和的關系，代入即可求得直線恒過定點．

（1）由橢圓離心率，則，，

將代入橢圓方程：，解得：，則，，

橢圓方程為；

（2）證明：設，，

由，整理得，

則，，

且，即，

，

即，則，

即，

又，

，化簡得，，

解得或且均滿足，

當時，，直線過定點與已知矛盾，

當時，，直線過定點，

綜上，直線l過定點，定點坐標為.