Question

已知命題p：（x+1）（x-3）≤0，命題q：-m≤x≤1+m（m＞0）
（Ⅰ）若p是q的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若m=5，“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假,必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：（I）由命題p：（x+1）（x-3）≤0，解得-1≤x≤3．命題q：-m≤x≤1+m（m＞0）．由p是q的充分條件，可得[-1，3]是[-m，1+m]（m＞0）的子集，可得

m＞0 -1≥-m 3≤1+m

，解得m范圍即可；
（II）m=5時，命題q：-5≤x≤6．“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，p與q必然一真一假．解出即可．

解答： 解：（I）由命題p：（x+1）（x-3）≤0，解得-1≤x≤3．
命題q：-m≤x≤1+m（m＞0）．
∵p是q的充分條件，∴[-1，3]是[-m，1+m]（m＞0）的子集，
∴

m＞0 -1≥-m 3≤1+m

，解得m≥2，∴實數(shù)m的取值范圍是[2，+∞）．
（II）m=5時，命題q：-5≤x≤6．
∵“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，
∴p與q必然一真一假．
∴

-1≤x≤3 x＜-5或x＞6

或

x＜-1或x＞3 -5≤x≤6

，
解得x∈∅或-5≤x＜-1或3＜x≤6．
∴實數(shù)x的取值范圍是[-5，-1）∪（3，6]．

點評：本題考查了一元二次不等式的解法、不等式組的解法、簡易邏輯的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．