Question

已知x，y∈R，2x+3y=13，則x²+y²+1的最小值為______．

Answer 1

解法1：根據(jù)解析幾何的性質(zhì)可知，2x+3y=13表示直線的方程，
則x²+y²表示直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，
由于原點(diǎn)到直線2x+3y=13距離為直線的點(diǎn)到原點(diǎn)的最短距離，
故x²+y²的最小值為（

|-13|

4+9

）²=13，
則x²+y²+1的最小值為14；
解法2：因?yàn)?x+3y=13，
所以利用柯西不等式得
（x²+y²）（2²+3²）≥（2x+3y）²，
即13（x²+y²）≥13²，
即x²+y²≥13，
當(dāng)且僅當(dāng)

3x=2y 2x+3y=13

即

x=2 y=3

時(shí)取等號(hào)，
即x²+y²的最小值為13．
則x²+y²+1的最小值為14．
故答案為：14