Question

已知函數(shù)f（x）=[ax²+（a-1）²x+a-（a-1）²]e^x（其中a∈R）．
（1）若x=0為f（x）的極值點(diǎn)，求a得值；
（2）在（1）的條件下，解不等式f（x）＞（x-1）（

1

2

x²+x+1）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,其他不等式的解法

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由于x=0為f（x）的極值點(diǎn)，可得f′（0）=0，得到a=0．
（2）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）＞（x-1）（

1

2

x²+x+1）?（x-1）•e^x＞（x-1）（

1

2

x²+x+1），整理得（x-1）[e^x-（

1

2

x²+x+1）]＞0．令g（x）=e^x-（

1

2

x²+x+1），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可得出．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=[ax²+（a-1）²x+a-（a-1）²]e^x，
∴f′（x）=[ax²+（a²+1）x+a]e^x，
∵x=0為f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（0）=ae⁰=0，解得a=0．
檢驗(yàn)，當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=xe^x，當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0．
∴x=0為f（x）的極值點(diǎn)，故a=0．
（2）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）＞（x-1）（

1

2

x²+x+1）?（x-1）•e^x＞）（x-1）（

1

2

x²+x+1），
整理得（x-1）[e^x-（

1

2

x²+x+1）]＞0．
即

x-1＞0 ex- 1 2 (x2+x+1)＞0

或

x-1＜0 ex- 1 2 (x2+x+1)＜0

令g（x）=e^x-（

1

2

x²+x+1），h（x）=g′（x）=e²-（x+1），h′（x）=e^x-1，
當(dāng)x＞0時(shí)h′（x）=e^x-1＞0；當(dāng)x＜0時(shí)，h′（x）＜0．
∴h（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增，∴h（x）＞h（0）=0．
即g′（x）＞0，∴g（x）在R上單調(diào)遞增，g（0）=0．
故e^x-（

1

2

x²+x+1）＞0?x＞0；e^x-（

1

2

x²+x+1）＜0?x＜0．
∴原不等式的解集為{x|x＜0或x＞1}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了利用單調(diào)性解不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．