Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°，SA⊥平面ABC，點A在SB和SC上的射影分別為N，M．求證：MN⊥SC．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：首先，證明BC⊥平面SAB，然后，從而得到AN⊥BC；對于MN⊥SC的證明，可以先證明SC⊥平面AMN，然后，很容易得到MN⊥SC．

解答： 證明：∵SA⊥面ABC，BC⊆平面ABC，
∴SA⊥BC，
又∵AB⊥BC，SA∩AB=A，
∴BC⊥平面SAB，
∵AN⊆平面SAB，
∴AN⊥BC；
∵AN⊥SB，且SB∩BC=B，
∴AN⊥平面SBC，
∵SC⊆平面SBC，
∴SC⊥AN，又AM⊥SC，且AM∩AN=A，
∴SC⊥平面AMN，
∴MN⊥SC．

點評：本題重點考查了空間中直線與平面垂直，直線與直線垂直等位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是線面垂直和線線垂直的相互轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．