Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ACC₁A₁⊥面ABC，AA₁=

2

，A₁C=CA=AB=1，AB⊥AC，D為AA₁中點(diǎn)．
（1）求證：CD⊥面ABB₁A₁；
（2）在側(cè)棱BB₁上確定一點(diǎn)E，使得二面角E-A₁C₁-A的大小為

π

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得AB⊥面ACC₁A₁，從而AB⊥CD，又CD⊥AA₁，由此能證明CD⊥面ABB₁A₁．
（2）以點(diǎn)C為坐標(biāo)系原點(diǎn)，CA為x軸，過(guò)C點(diǎn)平行于AB的直線為y軸，CA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，利用向量法能求出當(dāng)

| BE |

| BB1 |

=1-

3

3

時(shí)，二面角E-A₁C₁-A的大小為

π

3

．

解答： （1）證明：∵面ACC₁A₁⊥面ABC，AB⊥AC，
∴AB⊥面ACC₁A₁，即AB⊥CD；
又AC=A₁C，D為AA₁中點(diǎn)，∴CD⊥AA₁，
∴CD⊥面ABB₁A₁．（6分）
（2）解：如圖所示，以點(diǎn)C為坐標(biāo)系原點(diǎn)，CA為x軸，
過(guò)C點(diǎn)平行于AB的直線為y軸，CA₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，
則有A（1，0，0），B（1，1，0），A₁（0，0，1），B₁（0，1，1），
C₁（-a，0，a），設(shè)E（x，y，z），且

BE

=λ

BB1

，
即有（x-a，y-a，z）=λ（-a，0，a），
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（（1-λ）a，a，λa），
由條件得面A₁C₁A的一個(gè)法向量為

n1

=(0，1，0)，
設(shè)平面EA₁C₁的一個(gè)法向量為

n2

=（x，y，z），
由

n2 ⊥ A1C1 n2 ⊥ A1E

，得

-x=0 (1-λ)x+y+(λ-1)z=0

，
令y=1，則有

n2

=（0，1，

1

1-λ

），（9分）
∵E-A₁C₁-A的大小為

π

3

，
∴cos

π

3

=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

1

1+ 1 (1-λ)2

=

1

2

，得λ=1-

3

3

，
∴當(dāng)

| BE |

| BB1 |

=1-

3

3

時(shí)，二面角E-A₁C₁-A的大小為

π

3

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法及應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．