Question

【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù)，且時，有，，則不等式的解集為____．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）＝f（x）﹣x，判斷函數(shù)g（x）的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化求解即可．

由x﹣3≤f（x）≤x等價為﹣3≤f（x）﹣x≤0

設g（x）＝f（x）﹣x，

又由函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則有f（﹣x）＝﹣f（x），

則有g（﹣x）＝f（﹣x）﹣（﹣x）＝﹣f（x）+x＝﹣[f（x）﹣x]＝﹣g（x），

即函數(shù)g（x）為R上的奇函數(shù)，

則有g（0）＝0；

又由對任意0≤x1＜x2時，有1，

則1，

∵1，

∴1＜0，

即g（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)，

∵g（x）是奇函數(shù)，

∴g（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數(shù)，

∵f（﹣2）＝1，∴g（﹣2）＝f（﹣2）﹣（﹣2）＝1+2＝3；

g（2）＝﹣3，g（0）＝f（0）﹣0＝0，

則﹣3≤f（x）﹣x≤0等價為g（2）≤g（x）≤g（0），

∵g（x）是減函數(shù)，

∴0≤x≤2，

即不等式x﹣3≤f（x）≤x的解集為[0，2]；

故答案為：[0，2]．