Question

已知點(diǎn)P（2，2），圓C：x²+y²-8y=0，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)弦AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求M的軌跡方程；
（Ⅱ）當(dāng)|OP|=|OM|時(shí)，求弦AB所在的直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）利用

CM

•

MP

=0，建立方程，即可求M的軌跡方程；
（Ⅱ）當(dāng)|OP|=|OM|時(shí)，O在線段PM的垂直平分線上，即可求弦AB所在的直線方程．

解答： 解：（Ⅰ）圓C的方程可化為x²+（y-4）²=16，所以圓心為C（0，4），半徑為4．
設(shè)M（x，y），則

CM

=（x，y-4），

MP

=（2-x，2-y）．由題意知

CM

•

MP

=0，故
x（2-x）+（y-4）（2-y）=0，即（x-1）²+（y-3）²=2．
由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，所以點(diǎn)M的軌跡方程是（x-1）²+（y-3）²=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知M的軌跡是以點(diǎn)N（1，3）為圓心，

2

為半徑的圓．
由于|OP|=|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，
又P在圓N上，從而ON⊥PM．
因?yàn)镺N的斜率為3，所以l的斜率為-

1

3

，故l的方程為x+3y-8=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．