Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是線段A₁C₁上的動(dòng)點(diǎn)，則異面直線BM與AB₁所成的角的取值范圍是（　　）

• A、[

  π

  3

  ，

  π

  2

  )
• B、[

  π

  3

  ，

  π

  2

  ]
• C、(

  π

  6

  ，

  π

  2

  )
• D、(

  π

  6

  ，

  π

  3

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：計(jì)算題,空間角

分析：設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，A₁M=x（0≤x≤

2

），以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出A（0，0，0），B（1，0，0），B₁（1，0，1），M（

2

2

x，

2

2

x，1），再由向量的夾角公式，計(jì)算即可得到．

解答： 解：設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，A₁M=x（0≤x≤

2

），以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，
AB，AD，AA₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（1，0，0），B₁（1，0，1），M（

2

2

x，

2

2

x，1），
即有

AB1

=（1，0，1），

BM

=（

2

2

x-1，

2

2

x，1），
則cos＜

AB1

，

BM

＞=

AB1 • BM

| AB1 |•| BM |

=

2 2 x-1+1

2 • x2- 2 x+2

=

1

2

•

1

2( 1 x - 2 4 )2+ 3 4

，
由于0≤x≤

2

，則

1

x

≥

1

2

，
則0＜cos＜

AB1

，

BM

＞≤

1

2

，
由于0＜＜

AB1

，

BM

＞≤

π

2

，
則

π

3

≤＜

AB1

，

BM

＞≤

π

2

，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間異面直線所成的角的求法，考查運(yùn)用坐標(biāo)法借助向量的夾角解決的方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．