Question

設(shè)f（x）是奇函數(shù)且在（-∞，0）上是減函數(shù)，f（-1）=0則不等式xf（x）＜0的解集為（　�。�

• A、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• B、（-1，0）∪（0，1）
• C、（-1，0）∪（1，+∞）
• D、（-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題可以利用f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，f（-1）=0，得到函數(shù)有y軸左側(cè)的圖象草圖，得到f（x）的相應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)情況，再根據(jù)f（x）是奇函數(shù)，得到函數(shù)有y軸右側(cè)的圖象草圖，得到f（x）的相應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)情況，通過分類討論，將不等式xf（x）＜0轉(zhuǎn)化為不等式組，解不等式組，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，f（-1）=0，
∴當(dāng)x＜-1時(shí)，f（x）＞0；
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f（x）＜0．
又∵f（x）是奇函數(shù)，
∴由圖象的對(duì)稱性知：
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＞0；
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0．
若f（0）有意義，則f（0）=0．
∵不等式xf（x）＜0，
∴

x＞0 f(x)＜0

或

x＜0 f(x)＞0

，
∴x＞1或x＜-1．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性，函數(shù)性質(zhì)與圖象間關(guān)系，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．