Question

設f（x）是奇函數且在（-∞，0）上是減函數，f（-1）=0則不等式xf（x）＜0的解集為（　�。�

• A、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• B、（-1，0）∪（0，1）
• C、（-1，0）∪（1，+∞）
• D、（-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用

分析：本題可以利用f（x）在（-∞，0）上是減函數，f（-1）=0，得到函數有y軸左側的圖象草圖，得到f（x）的相應函數值的正負情況，再根據f（x）是奇函數，得到函數有y軸右側的圖象草圖，得到f（x）的相應函數值的正負情況，通過分類討論，將不等式xf（x）＜0轉化為不等式組，解不等式組，得到本題結論．

解答： 解：∵f（x）在（-∞，0）上是減函數，f（-1）=0，
∴當x＜-1時，f（x）＞0；
當-1＜x＜0時，f（x）＜0．
又∵f（x）是奇函數，
∴由圖象的對稱性知：
當0＜x＜1時，f（x）＞0；
當x＞1時，f（x）＜0．
若f（0）有意義，則f（0）=0．
∵不等式xf（x）＜0，
∴

x＞0 f(x)＜0

或

x＜0 f(x)＞0

，
∴x＞1或x＜-1．
故選A．

點評：本題考查了函數的單調性與對稱性，函數性質與圖象間關系，本題難度不大，屬于基礎題．