Question

根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，某工藝品廠的日產(chǎn)量最多不超過(guò)20件，每日產(chǎn)品廢品率P與日產(chǎn)量x（件）之間近似地滿足關(guān)系式P=

2 15-x ，1≤x≤9，x∈N* x2+60 540 ，10≤x≤20，x∈N*

（日產(chǎn)品廢品率=

日廢品量

日產(chǎn)量

×100%）．已知每生產(chǎn)一件正品可贏利2千元，而生產(chǎn)一件廢品則虧損1千元．（該車間的日利潤(rùn)Y=日正品贏利額-日廢品虧損額）
（1）將該車間日利潤(rùn)y（千元）表示為日產(chǎn)x（件）的函數(shù)；
（2）當(dāng)該車間的日產(chǎn)量為多少件時(shí)，日利潤(rùn)最大？最大日利潤(rùn)是幾千元？

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可知y=2x（1-p）-px，然后把p代入即可．
（2）由于所得函數(shù)是分段函數(shù)，需要分段討論，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求最值，最后確定最大日利潤(rùn)

解答： 解：（1）由題意可知，y=2x（1-p）-px=

24x-2x2 15-x ，1≤x≤9，x∈N* 5 3 x- x3 180 ，10≤x≤20

（2）考慮函數(shù)f（x）=px=

24x-2x2 15-x ，1≤x≤9，x∈N* 5 3 x- x3 180 ，10≤x≤20

當(dāng)1≤x≤9時(shí)，f′（x）=2-

90

(15-x)2

，
令f′（x）=0，解得x=15-3

5

，
當(dāng)1≤x＜15-3

5

時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在[1，15-3

5

）上單調(diào)遞增，
當(dāng)15-3

5

＜x≤9時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（15-3

5

，9]上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=15-3

5

時(shí)，f（x）取得極大值，也是最大值，
又x是整數(shù)，f（8）=

64

7

，f（9）=9，所以當(dāng)x=8時(shí)，f（x）有最大值

64

7

．
當(dāng)10≤x≤20時(shí)，f′（x）=

5

3

-

x2

60

=

100-x2

60

≤0，所以函數(shù)f（x）在[10，20]上單調(diào)減，
所以當(dāng)x=10時(shí)，f（x）取得極大值

100

9

，也是最大值．
由于

100

9

＞

64

7

，所以當(dāng)該車間的日產(chǎn)量為10件時(shí)，日利潤(rùn)最大．
答：當(dāng)該車間的日產(chǎn)量為10件時(shí)，日利潤(rùn)最大，最大日利潤(rùn)是

100

9

千元．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，主要考查函數(shù)模型的建立，考查利用函數(shù)思想解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，即建模，同時(shí)又用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．