Question

如圖，已知F₁、F₂為橢圓

x2

2

+y²=1的兩焦點，M是橢圓上一點，延長F₁M到N，P是NF₂上一點，且滿足

F2N

=2

F2P

，

MP

•

F2N

=0，點N的軌跡為E．
（1）求曲線E的方程；
（2）過F₁的直線l交橢圓于G，交于曲線E于H，（G、H都在x軸的上方），若

F1H

=2

F1G

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得F₁（-1，0），|MN|=|MF₂|，|NF₁|=|MN|+|MF₁|=|MF₂|+|MF₁|=2

2

．設(shè)N（x，y），則（x+1）²+y²=9，由此能求出曲線E的方程．
（2）由（1）知F1H=2

2

，所以G為線段F₁H的中點，G點的軌跡是以F₁（-1，0）為圓心，

2

為半徑的圓的x軸上半部分．由G在橢圓上，求得G（0，1），由此能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）∵F₁、F₂為橢圓

x2

2

+y²=1的兩焦點，∴F₁（-1，0），…1分
∵

F2N

=2

F2P

，

MP

•

F2N

=0，
∴MP為線段NF₂的垂直平分線，…2分
∴|MN|=|MF₂|．…3分
由橢圓的定義知：|MF₁|+|MF₂|=2

2

，
∴|NF₁|=|MN|+|MF₁|=|MF₂|+|MF₁|=2

2

．
設(shè)N（x，y），則（x+1）²+y²=9．…5分
顯然M為橢圓左、右端點時不滿足

MP

•

F2N

=0．
∴曲線E的方程為（x+1）²+y²=8，（y≠0）．…6分
（2）由（1）知F1H=2

2

．…7分
∵

F1H

=2

F1G

，∴G為線段F₁H的中點．…8分
∴|F₁G|=

1

2

|F1H|=

2

．
∴G點的軌跡是以F₁（-1，0）為圓心，

2

為半徑的圓的x軸上半部分．
∴G點的軌跡方程是（x+1）²+y²=2（y＞0）．…10分
又∵G在橢圓上：

x2

2

+y2=1，
由

(x+1)2+y2=2，(y＞0) x2+2y2=2

，解得

x=0 y=1

，
∴G（0，1），∴所求的直線方程為：y=x+1．…12分

點評：本題考查曲線方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．