Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線AB的距離為

3

2

，其中A（0，-b），B（a，0）．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)F是雙曲線的右焦點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F且與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q，點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn)．若點(diǎn)M在直線x=-2上的射影為N，滿足

PN

•

QN

=0，且|

PQ

|=10，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得

c a =2 ab a2+b2 = 3 2 a2+b2=c2

，由此能求出雙曲線方程．
（2）當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，|

PQ

|=6，不合題意，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），由

x2- y2 3 =1，x＞0 y=k(x-2)

，得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，由此利用韋達(dá)定理、根的判別式結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，
坐標(biāo)原點(diǎn)到直線AB的距離為

3

2

，
∴

c a =2 ab a2+b2 = 3 2 a2+b2=c2

，解得a=1，b=

3

，c=2，
∴雙曲線方程為x2-

y2

3

=1．
（2）當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，|

PQ

|=6，不合題意，
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），
由

x2- y2 3 =1，x＞0 y=k(x-2)

，消去y得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，①
∵直線與雙曲線有右支交于不同兩點(diǎn)，∴3-k²≠0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
則x₁，x₂是方程①的兩個(gè)正根，
∴

x1+x2= 4k2 k2-3 ＞0 x1x2= 4k2+3 k2-3 △=(4k2)2-4(3-k2)(-4k2-3)＞0

，
解得k²＞3．②
∵

PN

•

QN

=0，則PN⊥QN，又M為PQ的中點(diǎn)，|

PQ

|=10，
∴|PM|=|MN|=|MQ|=

1

2

|PQ|=5．又|MN|=x₀+2=5，
∴x₀=3，而x₀=

x1+x2

2

=

2k2

k2-3

=3，∴k²=9，解得k=±3．
∵k=±3滿足②式，∴k=±3符合題意． 
∴直線l的方程為y=±3（x-2）．
即3x-y-6=0或3x+y-6=0．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線方程的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．