Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥面ABC，∠BAC=90°，E為BC的中點，F(xiàn)為A₁A的中點，A₁A=4，AB=AC=2．
（Ⅰ）求證AE⊥平面 BCC₁；
（Ⅱ）求證AE∥平面BFC₁；
（Ⅲ）在棱AA₁上是否存在點P，使得二面角B-PC₁-C的大小是45°，若存在，求出AP的長．若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AE⊥平面BCC₁．
（Ⅱ）取BC₁的中點M（1，1，2），則

FM

=(1，1，0)，由

AE

=

FM

，能證明AE∥平面BFC₁．
（Ⅲ）求出平面BPC₁的法向量和平面CPC₁的法向量，利用向量法能求出在棱A₁A上存在點P，使得二面角B-PC₁-C的大小為45°，此時AP=

5

2

．

解答： （Ⅰ）證明：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），
C₁（0，2，4），E（1，1，0），F(xiàn)（0，0，2），
∵

AE

=(1，1，0)，

BC

=(-2，2，0)，

CC1

=(0，0，4)，
∴

AE

•

BC

=0，

AE

•

CC1

=0，
∵BC∩CC₁=C，
∴AE⊥平面BCC₁．
（Ⅱ）證明：取BC₁的中點M（1，1，2），則

FM

=(1，1，0)，
由（Ⅰ）可知

AE

=

FM

，即AE∥FM，
∵AE不包含平面BFC₁，F(xiàn)M?平面BFC₁，
∴AE∥平面BFC₁．
（Ⅲ）解：設(shè)P（0，0，p），平面BPC₁的法向量

n

=(x，y，z)，
∵

BC1

=(-2，2，4)，

BP

=(-2，0，p)，
∴

BC1 • n =-2x+2y+4z=0 BP • n =-2x+pz=0

，
取z=2，得

n

=(p，p-4，2)，
又

AB

=(2，0，0)是平面CPC₁的法向量，
∵二面角B-PC₁-C的大小是45°，
∴cos45°=cos＜

n

，

AB

＞=

2p

2 p2+(p-4)2+22

=

2

2

，
解得p=

5

2

，
∴在棱A₁A上存在點P，使得二面角B-PC₁-C的大小為45°，此時AP=

5

2

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．