Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，AB=1，BC=

2

，∠ABC=45°，點E在PC上，AE⊥PC．
（Ⅰ）證明：AE⊥平面PCD；
（Ⅱ）當(dāng)PA=

2

時，求直線AD與平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）由已知條件推導(dǎo)出AB⊥AC，PA⊥AB，從而得到AB⊥平面PAC，進而得到CD⊥平面PAC，由此能證明平面AEB⊥平面PCD．
（II）證明PC⊥平面ABE，可得∠CBE是直線BC與平面ABE所成的角，即可求出直線AD與平面ABE所成角的正弦值．

解答： （I）證明：∵AB=1，BC=

2

，∠ABC=45°，
∴AB⊥AC…（2分）
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又∵AC∩AP=A
∴AB⊥平面PAC，又∵AB∥CD
∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥AE…（4分）
又∵AE⊥PC，又∵PC∩CD=C
∴AE⊥平面PCD…（7分）
（II）解：∵AD∥BC，∴即求直線BC與平面ABE所成的角  …（9分）
∵AE⊥平面PCD，∴AE⊥PC
又∵AB⊥AC，且PC在平面ABC上的射影是AC，
∴AB⊥PC，
∴PC⊥平面ABE，
∴∠CBE是直線BC與平面ABE所成的角．…（11分）
∵Rt△PAC中，CE=

3

3

，
∴Rt△CBE中，sin∠CBE=

CE

CB

=

3 3

2

=

6

6

即直線AD與平面ABE所成角的正弦值為

6

6

．…（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查角的大小的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．