Question

四棱錐P-ABCD底面是菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面AEF⊥平面PAD；
（Ⅱ）H是PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成的最大角為45°，求二面角E-AF-C的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，由勾股定理推導(dǎo)出AE⊥BC，AE⊥AD．由線面垂直得到PA⊥AE，由此能證明面AEF⊥面PAD．
（Ⅱ）過(guò)E作EQ⊥AC，垂足為Q，過(guò)作QG⊥AF，垂足為G，連GE，則∠EGQ是二面角E-AF-C的平面角．由此能求出二面角E-AF-C的正切值．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，
則AE²=（2a）²+a²-2a•2acos60°=3a²，AE=

3

a，
BE²+AE²=AB²，∴AE⊥BC，
又AD∥BC，∴AE⊥AD．
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AE，AE⊥面PAD，
∴面AEF⊥面PAD．
（Ⅱ）解：過(guò)E作EQ⊥AC，垂足為Q，過(guò)作QG⊥AF，垂足為G，連GE，
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥EQ，EQ⊥面PAC，
∴∠EGQ是二面角E-AF-C的平面角．
過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PD，連接EH，
∵AE⊥面PAD，∴∠AHE是EH與面PAD所成的最大角．
∵∠AHE=45°，∴AH=AE=

3

a，
∵AH•PD=PA•AD，∴2a•PA=

3

a•

PA2+(2a)2

，PA=2

3

a，PC=4a，
EQ=

3

2

a，CQ=

1

2

a，GQ=

3 3

4

a，
∴tan∠EGQ=

EQ

GQ

=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直的證明，考查二面角正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．