Question

已知f（x）=x²+|2x-4|+a．
（1）當(dāng)a=-3時(shí)，求不等式f（x）＞x²+|x|的解集；
（2）若不等式f（x）≥0的解集為實(shí)數(shù)集R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=-3時(shí)，f（x）=x²+|2x-4|-3，通過(guò)對(duì)x的取值范圍分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，即可求得不等式f（x）＞x²+|x|的解集；
（2）f（x）≥0的解集為實(shí)數(shù)集R?a≥-x²-|2x-4|，通過(guò)對(duì)x的取值范圍分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，可求得-x²-|2x-4|的最大值為-3，從而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-3時(shí)，f（x）=x²+|2x-4|-3，
當(dāng)x≤0時(shí)，由f（x）＞x²+|x|得-x+1＞0，得x＜1，
∴x≤0．
當(dāng)0＜x≤2時(shí)，由f（x）＞x²+|x|得-3x+1＞0，解得x＜

1

3

．
∴0＜x＜

1

3

．
當(dāng)x＞2時(shí)，由f（x）＞x²+|x|得x-7＞0，解得x＞7．
∴x＞7．
當(dāng)a=-3時(shí)，f（x）＞x²+|x|的解集為{x|x＜

1

3

或x＞7}．
（2）f（x）≥0的解集為實(shí)數(shù)集R?a≥-x²-|2x-4|，
當(dāng)x≥2時(shí)，-x²-|2x-4|=-x²-2x+4=-（x+1）²+5≤-4，
當(dāng)x＜2時(shí)，-x²-|2x-4|=-x²+2x-4=-（x-1）²-3≤-3，
∴-x²-|2x-4|的最大值為-3．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，去掉絕對(duì)值符號(hào)是解不等式的關(guān)鍵，屬于中檔題．