Question

已知f（x）=ax³+bx²-2x+c在x=-2時(shí)有極大值6，在x=1時(shí)有極小值，
（1）求a，b，c的值；
（2）求f（x）在[-3，2]區(qū)間上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ax³+bx²-2x+c在x=-2時(shí)有極大值6，在x=1時(shí)有極小值得到三個(gè)方程求出a、b、c；
（2）令f′（x）=x²+x-2=0解得x=-2，x=1，在區(qū)間[-3，2]上討論函數(shù)的增減性，得到函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx-2由條件知

f′(-2)=12a-4b-2=0 f′(1)=3a+2b-2=0 f(-2)=-8a+4b+4+c=6

解得a=

1

3

，b=

1

2

，c=

8

3

（2）f（x）=

1

3

x³+

1

2

x²-2x+

8

3

，f′（x）=x²+x-2=0解得x=-2，x=1，
∴函數(shù)在（-3，-2）上單調(diào)遞增，在（-2，1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增，
∵f（-3）=4

1

6

，f（-2）=6，f（1）=

3

2

，f（2）=6

1

3

∴在區(qū)間[-3，2]上，當(dāng)x=2時(shí)，f_max=6

1

3

；當(dāng)x=1，f_min=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性的能力，屬于中檔題．