Question

已知數(shù)列{a_n}及f_n（x）=a₁x+a₂x²+…a_nxⁿ，f_n（-1）=（-1）ⁿn，n∈N₊．
（1）求a₁，a₂，a₃的值，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若（

1

2

）ⁿ•a_n≤

1

4

m²+

3

2

m-1對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）求證：f_n（

1

3

）＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,二項(xiàng)式定理

分析：（1）將x=-1代入函數(shù)f_n（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ中，分別令n=1，2，3便可以求出a₁、a₂、a₃的值；利用題中的公式先求出a_n+1的表達(dá)式即可求出數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（2）（

1

2

）ⁿ•a_n≤

1

4

m²+

3

2

m-1對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，等價(jià)于

1

4

m²+

3

2

m-1≥

3

4

，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）利用數(shù)列的差項(xiàng)相減法便可求出f_n（

1

3

）的表達(dá)式，進(jìn)而可以證明f_n（

1

3

）＜1．

解答： （1）解：由已知f₁（-1）=-a₁=-1，∴a₁=1
f₂（-1）=-a₁+a₂=2，∴a₂=3，
f₃（-1）=-a₁+a₂-a₃=-3，∴a₃=5
∵（-1）ⁿ⁺¹•a_n+1=f_n+1（-1）-f_n（-1）=（-1）ⁿ⁺¹•（n+1）-（-1）ⁿ•n
∴a_n+1=（n+1）+n
即a_n+1=2n+1
∴a_n=2n-1；
（2）解：∵（

1

2

）ⁿ•a_n≤

1

4

m²+

3

2

m-1對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，
∴

1

4

m²+

3

2

m-1≥

3

4

，
∴m≤-7或m≥1；
（3）證明：f_n（x）=x+3x²+5x³++（2n-1）xⁿ
∴f_n（

1

3

）=

1

3

+3（

1

3

）²+5（

1

3

）³+…+（2n-1）（

1

3

）ⁿ           ①

1

3

f_n（

1

3

）=（

1

3

）²+3（

1

3

）³+5（

1

3

）⁴+…+（2n-1）（

1

3

）ⁿ⁺¹   ②
①─②，整理得f_n（

1

3

）=1-

n-1

3n

∴f_n（

1

3

）＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．