Question

若△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，

OA

+

OB

+

OC

=

0

，則

OA

•

OB

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)邊BC的中點(diǎn)為D，利用平行四邊形法則可得：

OB

+

OC

=2

OD

，利用

OA

+

OB

+

OC

=

0

，可得

OA

+2

OD

=

0

，點(diǎn)O是△ABC的重心，又△ABC的外接圓的圓心為O，于是△ABC是等邊三角形．再利用等邊三角形的性質(zhì)和數(shù)量積的定義即可得出．

解答： 解：設(shè)邊BC的中點(diǎn)為D，則

OB

+

OC

=2

OD

，∵

OA

+

OB

+

OC

=

0

，∴

OA

+2

OD

=

0

，
∴點(diǎn)O是△ABC的重心，
又△ABC的外接圓的圓心為O，
∴△ABC是等邊三角形．
∴∠AOB=120°，
則

OA

•

OB

=1×1×cos120°=-

1

2

．
故答案為：-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形法則、三角形的重心性質(zhì)、三角形的外接圓的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、數(shù)量積的定義等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．