Question

5位同學(xué)圍成一圈依次循環(huán)報數(shù)，規(guī)定：第一位同學(xué)報的數(shù)是1，第二位同學(xué)報的數(shù)也是1，之后每位同學(xué)所報的數(shù)都是前兩位同學(xué)報的數(shù)之和；若報的數(shù)為3的倍數(shù)，則報該數(shù)的同學(xué)需拍手一次．已知甲同學(xué)第一個報數(shù)．
（1）當(dāng)5位同學(xué)依次循環(huán)共報20個數(shù)時，甲同學(xué)拍手的次數(shù)為

 

；
（2）當(dāng)甲同學(xué)開始第10次拍手時，這5位同學(xué)已經(jīng)循環(huán)報數(shù)到第

 

個數(shù)．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：推理和證明

分析：這樣得到的數(shù)列這是歷史上著名的數(shù)列，叫斐波那契數(shù)列．尋找規(guī)律是解決問題的根本，否則，費時費力．首先求出這個數(shù)列的每一項除以3所得余數(shù)的變化規(guī)律，再求所求就比較簡單了．

解答： 解：（1）由題意可知：①將每位同學(xué)所報的數(shù)排列起來，即是“斐波那契數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，…
②該數(shù)列的一個規(guī)律是，第4，8，12，16，…4n項均是3的倍數(shù)．
③甲同學(xué)報數(shù)的序數(shù)是1，6，11，16，…，5m-4．
④問題可化為求數(shù)列{4n}與{5n-4}的共同部分?jǐn)?shù)，
甲同學(xué)拍手的次數(shù)為看，那么n=20k-4，應(yīng)該是20的倍數(shù)減去4那一次，設(shè)甲拍手的次數(shù)為k次，
則n=20k-4
∴20k-4≤20．
∴k≤1
∴甲拍手的總次數(shù)為1次．即第16次報數(shù)時拍手．
（2）由（1）可知n=20k-4=20×10-4=196．
故答案為：1，196

點評：本題主要考查斐波那契數(shù)列、等差數(shù)列的知識．?dāng)?shù)列是高考的重點，每年必考，一定要強化復(fù)習(xí)并且還要靈活運用